2 ) probabilite d'une intersection

Un élève étant choisi au hasard parmi les candidats présentés par le lycée, on note A l'événement : « l'élève provient de la série S » et ... Ainsi la probabilité que l'élève soit reçu au bac sachant qu'il provient de la série S est . .... Tout événement B est alors la réunion disjointe des événements B Ç A1 , B Ç A2, ? , B Ç An.


un extrait du document

PROBABILITES

1 ) PROBABILITES CONDITIONNELLES

Définition

Soit A et B deux événements tels que P ( B ) SYMBOL 185 \f "Symbol"\h 0 .
On appelle « probabilité conditionnelle de A par rapport à B » ou « probabilité de A sachant B » le réel, noté
P ( A / B ) ou PB ( A ) défini par :
P ( A / B ) = EQ \s\do2(\f(P ( A SYMBOL 199 \f "Symbol"\h B );P ( B )))

Exemple :

Un lycée a présenté 356 candidats au bac, dont 96 en série S. 256 élèves ont été admis à l’examen ; parmi eux 64 provenaient de la série S .
Un élève étant choisi au hasard parmi les candidats présentés par le lycée, on note A l’événement : «  l’élève provient de la série S  » et
B l’événement : «  l’élève a été reçu au bac  » .
Chaque élève a la même chance d’être choisi ; par équiprobabilité, on a donc :
P ( A ) =  EQ \s\do2(\f(96;356)) , P ( B ) =  EQ \s\do2(\f(256;356)) et P ( A SYMBOL 199 \f "Symbol"\h B ) =  EQ \s\do2(\f(64;356))
On en déduit que P ( A / B ) = EQ \s\do2(\f(P ( A SYMBOL 199 \f "Symbol"\h B );P ( B ))) =  EQ \s\do2(\f(64;256)) =  EQ \s\do2(\f(1;4)) = 0,25
La probabilité que l’élève provienne de la série S sachant qu’il est reçu au bac, est donc égale à 0,25 .

On a aussi P ( B / A ) = EQ \s\do2(\f(P ( B SYMBOL 199 \f "Symbol"\h A );P ( A ))) = EQ \s\do2(\f(P ( A SYMBOL 199 \f "Symbol"\h B );P ( A ))) =  EQ \s\do2(\f(64;96)) =  EQ \s\do2(\f(2;3))
Ainsi la probabilité que l’élève soit reçu au bac sachant qu’il provient de la série S est  EQ \s\do2(\f(2;3)) .
Remarques :
Si A SYMBOL 204 \f "Symbol"\h B , alors A SYMBOL 199 \f "Symbol"\h B = A et P ( A / B ) =  EQ \s\do2(\f(P ( A );P ( B )))
Si B SYMBOL 204 \f "Symbol"\h A , alors A SYMBOL 199 \f "Symbol"\h B = B et P ( A / B ) =  EQ \s\do2(\f(P ( B );P ( B ))) = 1
On a A SYMBOL 199 \f "Symbol"\h B SYMBOL 204 \f "Symbol"\h B , donc 0 SYMBOL 163 \f "Symbol"\h P ( A SYMBOL 199 \f "Symbol"\h B ) SYMBOL 163 \f "Symbol"\h P ( B ) et en divisant les trois membres de cette inégalité par le nombre strictement
positif P ( B ) , on obtient : 0 SYMBOL 163 \f "Symbol"\h EQ \s\do2(\f(P ( A SYMBOL 199 \f "Symbol"\h B );P ( B ))) SYMBOL 163 \f "Symbol"\h 1 SYMBOL 219 \f "Symbol"\h 0 SYMBOL 163 \f "Symbol"\h P ( A / B ) SYMBOL 163 \f "Symbol"\h 1
P ( EQ \o(\s\up6( SYMBOL 190\f"Symbol"\h\s8);A) / B ) = 1 – P ( A / B )


2 ) PROBABILITE D’UNE INTERSECTION

Propriété

Soit A et B deux événements tels que P ( B ) SYMBOL 185 \f "Symbol"\h 0 et P ( A ) SYMBOL 185 \f "Symbol"\h 0 . On a :
P ( A SYMBOL 199 \f "Symbol"\h B ) = P ( A ) SYMBOL 180 \f "Symbol"\h P ( B / A ) et P ( A SYMBOL 199 \f "Symbol"\h B ) = P ( B ) SYMBOL 180 \f "Symbol"\h P ( A / B )

Ces égalités se déduisent de la définition précédente.
Ces deux égalités se retiennent assez facilement : pour que l’événement A et B soit réalisé, il faut d’abord que l’événement A le soit, et sachant que l’événement A est réalisé, il faut ensuite que l’événement B le soit aussi …

Exemple :

Une urne contient trois boules bleues et cinq rouges, indiscernables au toucher.
On tire au hasard une première boule de l'urne . Si elle est bleue, on la remet dans 1'ume et on rajoute une autre boule bleue ; si elle est rouge, on ne la remet pas dans l'urne . On tire ensuite, au hasard, une seconde boule de l'urne.
On s'intéresse à la probabilité pour que les deux boules extraites soient bleues.

B 1 est l'événement : « la première boule extraite est bleue » ; B2 est l'événement : « la seconde boule extraite est bleue ».
L'événement « les deux boules extraites sont bleues » est alors B 1 SYMBOL 199 \f "Symbol"\h B 2 .
On a P ( B 1 SYMBOL 199 \f "Symbol"\h B 2 ) = P ( B 2 / B 1 ) SYMBOL 180 \f "Symbol"\h P ( B 1 )
Les boules ont la même chance d’être tirées ; par équiprobabilité, on a donc : P ( B 1 ) =  EQ \s\do2(\f(3;8))
B 1 étant réalisé, on rajoute une boule bleue, si bien qu'au moment du second tirage il y a 4 boules bleues sur 9 boules dans l'urne. Ce qui permet d'écrire P ( B 2 / B 1 ) =  EQ \s\do2(\f(4;9))
On en déduit : P ( B 1 SYMBOL 199 \f "Symbol"\h B 2 ) =  EQ \s\do2(\f(4;9)) SYMBOL 180 \f "Symbol"\h  EQ \s\do2(\f(3;8)) =  EQ \s\do2(\f(1;6)) . La probabilité que les deux boules extraites soient bleues est donc égale à  EQ \s\do2(\f(1;6))
3 ) EVENEMENTS INDEPENDANTS

Deux événements A et B de probabilités non nulles sont dits indépendants si le fait que l’un d’entre eux soit réalisé ou non n’influe pas
la probabilité que l’autre soit réalisé, c'est à dire :
si P ( A / B ) = P ( A ) ou si P ( B / A ) = P ( B )
En utilisant la propriété précédente, on constate que l’indépendance de A et B se traduit par la relation P ( A SYMBOL 199 \f "Symbol"\h B ) = P ( A ) SYMBOL 180 \f "Symbol"\h P ( B )



Définition

Soit A et B deux événements de probabilités non nulles.
A et B sont dits indépendants s’ils vérifient l’une des trois conditions équivalentes suivantes :


P ( A / B ) = P ( A )
P ( B / A ) = P ( B )
P ( A SYMBOL 199 \f "Symbol"\h B ) = P ( A ) SYMBOL 180 \f "Symbol"\h P ( B )
Exemple :
Une urne contient quatre boules bleues numérotées b1 , b1 , b2 et b3 , et six boules rouges numérotées r1 , r1 , r1 , r2 , r3 et r4 .
On suppose toutes ces boules indiscernables au toucher, et on en tire une au hasard.
On considère les événements :
B : « la boule tirée est bleue » ; R : « la boule tirée est rouge » ; Q : « la boule tirée porte le numéro 4 » ; U : « la boule tirée porte le numéro 1 ».
Les boules ont la même chance d’être tirées ; par équiprobabilité, on a donc :
P ( U ) =  EQ \s\do2(\f(5;10)) =  EQ \s\do2(\f(1;2))  ; P ( B ) =  EQ \s\do2(\f(4;10)) =  EQ \s\do2(\f(2;5)) et P ( B SYMBOL 199 \f "Symbol"\h U ) =
On a :

Les événements B et U sont donc indépendants . Ce résultat s'explique en remarquant que la proportion des boules bleues portant le numéro 1 parmi les boules portant le numéro 1 est la même que celle des boules bleues parmi les boules de l’urne.
On a aussi P( Q ) =  EQ \s\do2(\f(1;10)) , P ( B ) =  EQ \s\do2(\f(2;5)) et P ( Q SYMBOL 199 \f "Symbol"\h B ) =
On a :

Les événements B et Q ne sont donc pas indépendants .

Remarque :
Ne pas confondre événements incompatibles et événements indépendants.
Deux événements A et B sont incompatibles si et seulement si A SYMBOL 199 \f "Symbol"\h B = SYMBOL 198 \f "Symbol"\h . On a alors : P ( A SYMBOL 200 \f "Symbol"\h B ) = P ( A ) + P ( B )
Dans l'exemple précédent, les événements B et U sont indépendants, mais non incompatibles ; les événements B et Q sont incompatibles
et non indépendants.

4 ) FORMULE DES PROBABILITES TOTALES

( est l’univers des événements élémentaires d’une expérience aléatoire. A1 , A2 , … , An désignent des événements de ( .

Définition

Dire que A1 , A2 , … , An réalisent une partition de l’univers ( , signifie que :

les événements A1 , A2 , … , An sont deux à deux disjoints 
A1 SYMBOL 200 \f "Symbol"\h A2 SYMBOL 200 \f "Symbol"\h … SYMBOL 200 \f "Symbol"\h An = (

Tout événement B est alors la réunion disjointe des événements B SYMBOL 199 \f "Symbol"\h A1 , B SYMBOL 199 \f "Symbol"\h A2, … , B SYMBOL 199 \f "Symbol"\h An

On a donc P ( B ) = P ( B SYMBOL 199 \f "Symbol"\h A1 ) + P ( B SYMBOL 199 \f "Symbol"\h A2 ) + … + P ( B SYMBOL 199 \f "Symbol"\h An )

De plus pour tout i tel que 1 SYMBOL 163 \f "Symbol"\h i SYMBOL 163 \f "Symbol"\h n , on a P ( B SYMBOL 199 \f "Symbol"\h Ai ) = P ( B / Ai ) SYMBOL 180 \f "Symbol"\h P ( Ai )

Propriété : Formule des probabilités totales

Dans les conditions précédentes on a :

P ( B ) = P ( B SYMBOL 199 \f "Symbol"\h A1 ) + P ( B SYMBOL 199 \f "Symbol"\h A2 ) + … + P ( B SYMBOL 199 \f "Symbol"\h A n )

P ( B ) = P ( B / A1 ) SYMBOL 180 \f "Symbol"\h P ( A1 ) + P ( B / A2 ) SYMBOL 180 \f "Symbol"\h P ( A2 ) + … + P ( B / An ) SYMBOL 180 \f "Symbol"\h P ( An )
La deuxième formule permet de calculer la probabilité d’un événement B dans le cas
( fréquent ) où l’on connaît les probabilités
P ( Ai ) d’une famille d’événements Ai constituant une partition de l’univers (, ainsi que les probabilités conditionnelles de l’événement B par rapport à chaque événement Ai .
Exemple :

Un test d’une maladie est effectué sur la totalité d’une population.
Une étude statistique établit que 70 % de la population réagit négativement au test ( événement N ) , 20 % réagit faiblement au test ( événement F ) et 10 % réagit fortement au test ( événement R ) .
La probabilité pour une personne de cette population d’être atteinte de la maladie ( événement M ) est :
0,9 lorsque le test est fortement positif
0,6 lorsque le test est faiblement positif
0,05 lorsque le test est négatif

Par hypothèse, on a donc :
P ( R ) = 0,1 , P ( F ) = 0,2 , P ( N ) = 0,7 , P ( M / R ) = 0,9 , P ( M / F ) = 0,6 et P ( M / N ) = 0,05

Les événements R , F et N constituent une partition de la population.


D’après la formule des probabilités totales, on en déduit que :
P ( M ) =

La probabilité pour qu’une personne de cette population soit atteinte de la maladie est donc égale à

5 ) REGLES DE CONSTRUCTION D’UN ARBRE PONDERE ( ou arbre de probabilités )

Pour déterminer des probabilités, on peut être amené à construire des arbres dont
les branches sont affectées de probabilités.
Un arbre pondéré se construit et se lit de gauche à droite.
L’origine de l'arbre est la racine de l'arbre.
Les traits partant de la racine sont appelés branches primaires de l'arbre. Elles mènent à des nœuds.
Les branches joignant deux nœuds sont dites secondaires.
Tout chemin menant de la racine à un nœud est appelé trajet.
Règles

Les événements qui se trouvent aux extrémités des branches primaires forment une partition de l'univers ( .

Le poids d'une branche primaire est la probabilité de l'événement qui se trouve à son extrémité.

Le poids d'une branche secondaire est la probabilité conditionnelle de l'événement qui se trouve à son extrémité sachant que le trajet menant à son origine a été réalisé.
Le poids ou la probabilité d'un trajet est le produit des poids des branches le constituant.

La probabilité d'un événement associé à plusieurs trajets complets est la somme des probabilités de ces trajets.
Remarques :
La somme des poids des branches primaires vaut 1.
La somme des poids des branches secondaires issues d'un même nœud vaut 1.

Exemple :
Une urne contient trois boules bleues et deux boules rouges.
On tire successivement et sans remise trois boules de l’urne.
L’expérience aléatoire peut être décrite par l’arbre pondéré suivant :

La probabilité que la troisième boule soit rouge sachant
que les deux premières étaient bleues est  EQ \s\do2(\f(2;3)) . ( règle 3 )
La probabilité de l’événement ( B , B , B ) est  EQ \s\do2(\f(1;10)) ( règle 4 )
Soit A l’événement : «  tirer une seule boule rouge » .
A est associé aux trajets ( R , B , B ) , ( B , R , B ) et ( B , B , R ) . On a :
P ( A ) = P ( R , B , B ) + P ( B , R , B ) + P ( B , B , R ) =  EQ \s\do2(\f(1;5)) +  EQ \s\do2(\f(1;5)) +  EQ \s\do2(\f(1;5)) ( règle 5 )
Remarques :
Pour des expériences indépendantes, la probabilité de la liste des résultats est le produit des probabilités de chaque résultat.
Au chapitre suivant, nous développerons, le cas d'expériences, constituées d'une succession de p expériences identiques et indépendantes.

6 ) INDEPENDANCE DE DEUX VARIABLES ALEATOIRES

Définition

Soit X et Y deux variables aléatoires sur ( . On note X(() = { x1 ; x2 ; ... ; xk } et Y(() = { y1 ; y2 ; ... ; yn } .
On dit que les variables aléatoires X et Y sont indépendantes, si pour tout i SYMBOL 206 \f "Symbol"\h {1 ; 2 ; ... ; k} et pour tout j SYMBOL 206 \f "Symbol"\h {1 ; 2 ; ... ; n} les événements ( X = x i) et ( Y = yj ) sont indépendants.

Propriété

Soit X et Y deux variables aléatoires sur ( . On note X(() = { x1 ; x2 ; ... ; xk } et Y(() = { y1 ; y2 ; ... ; yn } .
X et Y sont indépendantes si, et seulement si, pour tout i SYMBOL 206 \f "Symbol"\h {1 ; 2 ; ... ; k} et pour tout j SYMBOL 206 \f "Symbol"\h {1 ; 2 ; ... ; n}
P ( ( X = xi ) SYMBOL 199 \f "Symbol"\h ( Y = yj ) ) = P ( X = xi ) SYMBOL 180 \f "Symbol"\h P ( Y = yj )
Remarque :
Dire que deux variables aléatoires sont indépendantes revient à dire que la valeur de l'une n'influe pas sur les probabilités de réalisation de l'autre.


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 EMBED Unknown 



B

(

A4

A3

A2

A1









B

R

B

R

B

R

B

R






En général :




B

R





B

R





B






R



 EMBED Unknown